考研數(shù)學線性代數(shù)重難點解析

　　摘要：2018考研...大綱于9月15日發(fā)布，關注大綱解析，獲取大綱變化，考研幫為你持續(xù)關注。

　　考研數(shù)學中數(shù)一、數(shù)二、數(shù)三在高數(shù)中的要求會有一些區(qū)別，但這點在線性代數(shù)這門課程中幾乎是沒有的，如果非得嚴格的說，只有在空間解析幾何上面的差距。因此，對于線性代數(shù)而言，在考試中的重點和難點是沒有太大區(qū)別的，下面我們具體來看一下線代中的幾個重難點。

　　線性代數(shù)的第一個重難點是線性方程組。齊次線性方程組與線性相關、無關的聯(lián)系。齊次線性方程組必定有解，其中零解必定是它的解，向量部分的一條性質：零向量可由任何向量線性表示。因此，我們更關注的齊次線性方程組什么時候有非零解，而當齊次線性方程組有非零解時，即存在不全為零的一組數(shù)使得向量組的線性組合為零向量。向量部分中判斷向量組是否線性相關(無關)的定義也正是由這個等式出發(fā)的。故向量與線性方程組在此又產生了聯(lián)系：齊次線性方程組是否有非零解對應于系數(shù)矩陣的列向量組是否線性相關?？梢栽O想線性相關(無關)的概念就是為了更好地討論線性方程組問題而提出的。

　　齊次線性方程組的解與秩和極大無關組的聯(lián)系。同樣可以認為秩是為了更好地討論線性相關和線性無關而引入的。秩的定義是極大線性無關組中的向量個數(shù)。由秩，線性相關(無關)、線性方程組解的判定的邏輯鏈條，就可以判定列向量組線性相關時，齊次線性方程組有非零解，且齊次線性方程組的解向量可以通過線性無關的解向量(基礎解系)線性表示。

　　非齊次線性方程組與線性表示的聯(lián)系。非齊次線性方程組是否有解對應于向量是否可由列向量組線性表示，使等式成立的一組數(shù)就是非齊次線性方程組的解。線性方程組的重點內容有：齊次線性方程組有非零解和非齊次線性方程組有解的判定及解的結構、齊次線性方程組基礎解系的求解與證明、齊次(非齊次)線性方程組的求解(含對參數(shù)取值的討論)。主要題型有：線性方程組的求解、方程組解向量的判別及解的性質、齊次線性方程組的基礎解系、非齊次線性方程組的通解結構、兩個方程組的公共解、同解問題。

　　線性代數(shù)的第二個重點就是矩陣的相似性。這一點需要大家注意的是矩陣的相似對角化，而考試過程中，矩陣的相似對角化常常與二次型相結合在一起。另一方面，任何一個二次型都對應實對稱矩陣，而實對稱矩陣又具有某些良好的性質，必可正交相似對角化，其過程就是相似對角化在為實對稱矩陣時的應用。線性代數(shù)每年都會考察兩道大題，而往往就是這兩個知識點各考查一個。

　　近幾年，從考試的方向來看，對二次型的考察傾向比較大，而且是解答題，這一塊的考查方式有兩種：一種是以計算題的形式進行考察，主要是結合前面的相似對角化以及可相似對角化的判定條件可以求參數(shù)，求秩等;另一種考查方式則是正定性的判定，這里主要是通過正特征值的個數(shù)、正慣性指數(shù)或者是正定性的定義。對于具體采用哪種方法，還需要考生在做題的過程中進行總結，但這塊的知識點綜合性會高一點，需要考生有一個很扎實的基礎。

　　最后，考研幫祝全體考生考試成功。