2015年考研大綱解析：線性代數(shù)重點內(nèi)容

　　經(jīng)過暑假強化階段學(xué)習(xí)以后，從九月開始進入復(fù)習(xí)鞏固階段，也是提高階段的尾端，也就是說，如果考生順利完成了提高階段的復(fù)習(xí)，將為沖刺階段提供足夠空間，反之則可能打亂整個復(fù)習(xí)進程.這段時間，考生還是要堅持兩條腿走路，即知識點總結(jié)和題型總結(jié),也就是要把書由厚讀到薄，把知識轉(zhuǎn)化成自己的東西，這樣才會越學(xué)越輕松。線性代數(shù)在考研數(shù)學(xué)中占有重要地位，必須予以高度重視。和高數(shù)與概率統(tǒng)計相比，由于線性代數(shù)的學(xué)科特點，同學(xué)們更應(yīng)該要注重對知識點的總結(jié)。線性代數(shù)試題的特點比較突出，以計算題為主，證明題為輔，因此，同學(xué)們必須注重計算能力。線性代數(shù)在數(shù)學(xué)一、二、三中均占22%，所以考生要想取得高分，學(xué)好線代也是必要的。下面，就將線代中重點內(nèi)容和典型題型做總結(jié)，希望對同學(xué)們后期的復(fù)習(xí)有所幫助。
　　一 行列式
　　行列式在整張試卷中所占比例不是很大，一般以填空題、選擇題為主，它是必考內(nèi)容，不只是考察行列式的概念、性質(zhì)、運算，與行列式有關(guān)的考題也不少，例如方陣的行列式、逆矩陣、向量組的線性相關(guān)性、矩陣的秩、線性方程組、特征值、正定二次型與正定矩陣等問題中都會涉及到行列式。如果試卷中沒有獨立的行列式的試題，必然會在其他章、節(jié)的試題中得以體現(xiàn)。所以要熟練掌握行列式常用的計算方法。
　　1 重點內(nèi)容:行列式計算
　　（1）降階法
　　這是計算行列式的主要方法，即用展開定理將行列式降階。但在展開之前往往先用行列式的性質(zhì)對行列式進行恒等變形，化簡之后再展開。
　?。?）特殊的行列式
　　有三角行列式、范德蒙行列式、行和或列和相等的行列式、三線型行列式、爪型行列式等等，必須熟練掌握相應(yīng)的計算方法。
　　2 常見題型
　　（1）數(shù)字型行列式的計算
　?。?）抽象行列式的計算
　　（3）含參數(shù)的行列式的計算
　?。?）代數(shù)余子式的線性組合
　　二 矩陣
　　矩陣是線性代數(shù)的核心，是后續(xù)各章的基礎(chǔ)。矩陣的概念、運算及理論貫穿線性代數(shù)的始終。這部分考點較多。涉及伴隨矩陣的定義、性質(zhì)、行列式、逆矩陣、秩及包含伴隨矩陣的矩陣方程是矩陣試題中的一類常見試題。有些性質(zhì)得證明必須能自己推導(dǎo)。這幾年還經(jīng)常出現(xiàn)有關(guān)初等變換與初等矩陣的命題。
　　1 重點內(nèi)容：
　?。?）矩陣的運算
　　（2）伴隨矩陣
　?。?）可逆矩陣
　　（4）初等變換和初等矩陣
　?。?）矩陣的秩
　　2 常見題型：
　?。?）計算方陣的冪
　?。?）與伴隨矩陣相關(guān)聯(lián)的命題
　　（3）有關(guān)初等變換的命題
　?。?）有關(guān)逆矩陣的計算與證明
　?。?）解矩陣方程（2013年和2014年連續(xù)出大題，要重視）
　?。?）矩陣秩的計算和證明
　　三 向量
　　向量部分既是重點又是難點，由于n維向量的抽象性及在邏輯推理上的較高要求，導(dǎo)致考生在學(xué)習(xí)理解上的困難。考生至少要梳理清楚知識點之間的關(guān)系，最好能獨立證明相關(guān)結(jié)論。
　　1 重點內(nèi)容：
　?。?）向量的線性表示
　　線性表示經(jīng)常和方程組結(jié)合考察，特點，表面問一個向量可否由一組向量線性表示，其實本質(zhì)需要轉(zhuǎn)換成方程組的內(nèi)容來解決，經(jīng)常結(jié)合出大題。
　?。?）向量組的線性相關(guān)性
　　向量組的線性相關(guān)性是線性代數(shù)的重點，也是考研的重點。同學(xué)們一定要吃透向量組線性相關(guān)性的概念，熟練掌握有關(guān)性質(zhì)及判定法并能靈活應(yīng)用，還應(yīng)與線性表出、向量組的秩及線性方程組等相聯(lián)系，從各個側(cè)面加強對線性相關(guān)性的理解。
　　(3)向量組等價
　　要注意向量組等價與矩陣等價的區(qū)別。
　?。?）向量組的極大線性無關(guān)組和向量組的秩
　?。?）向量空間（數(shù)一）
　　2 常見題型：
　?。?）判定向量組的線性相關(guān)性
　　（2）向量組線性相關(guān)性的證明
　?。?）判定一個向量能否由一向量組線性表出
　　（4）向量組的秩和極大無關(guān)組的求法
　?。?）有關(guān)秩的證明
　　（6）有關(guān)矩陣與向量組等價的命題
　?。?）與向量空間有關(guān)的命題。
　　四 線性方程組
　　往年考題中，方程組出現(xiàn)的頻率較高，幾乎每年都有考題，也是線性代數(shù)部分考查的重點內(nèi)容。但也不會簡單到僅考方程組的計算，還需靈活運用，比如2014年的線性代數(shù)第一道解答題，解矩陣方程，而且系數(shù)矩陣是不可逆的，這是考研以來第一次這樣考，最后歸結(jié)為求三個非齊次線性方程組通解。
　　1 重點內(nèi)容：
　?。?）齊次線性方程組有非零解和非齊次線性方程組有解的判定及解的結(jié)構(gòu)
　?。?）齊次線性方程組基礎(chǔ)解系的求解與證明
　?。?）齊次（非齊次）線性方程組的求解（含對參數(shù)取值的討論）。
　　2 常見題型：
　?。?）線性方程組的求解
　　（2）方程組解向量的判別及解的性質(zhì)
　?。?）齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系
　　（4）非齊次線性方程組的通解結(jié)構(gòu)
　?。?）兩個方程組的公共解、同解問題
　　五 特征值與特征向量
　　特征值、特征向量是線性代數(shù)的重點內(nèi)容，是考研的重點之一，題多分值大。
　　1 重點內(nèi)容
　?。?）特征值和特征向量的概念及計算
　　（2）方陣的相似對角化
　?。?）實對稱矩陣的正交相似對角化
　　2 常見題型
　　（1）數(shù)值矩陣的特征值和特征向量的求法
　?。?）抽象矩陣特征值和特征向量的求法
　?。?）矩陣相似的判定及逆問題（2014出大題）
　?。?）矩陣的相似對角化及逆問題
　?。?）由特征值或特征向量反求A
　?。?）有關(guān)實對稱矩陣的問題
　　六 二次型
　　由于二次型與它的實對稱矩陣式一一對應(yīng)的，所以二次型的很多問題都可以轉(zhuǎn)化為它的實對稱矩陣的問題，可見正確寫出二次型的矩陣式處理二次型問題的一個基礎(chǔ)。
　　1 重點內(nèi)容：
　?。?）掌握二次型及其矩陣表示，了解二次型的秩和標準形等概念；
　?。?）了解二次型的規(guī)范形和慣性定理；
　?。?）掌握用正交變換并會用配方法化二次型為標準形；
　　（4）理解正定二次型和正定矩陣的概念及其判別方法。
　　2 常見題型
　?。?）二次型表成矩陣形式
　　（2）化二次型為標準形
　?。?）二次型正定性的判別。
　　同學(xué)們可以對照以上內(nèi)容和題型，多問問自己是否已熟練掌握相關(guān)知識點和對應(yīng)題型的解答。應(yīng)該說考研數(shù)學(xué)最簡單的部分就是線性代數(shù)，其計算基本都是加減乘除，小學(xué)生都會，但這部分的難點就在于概念非常多而且相互聯(lián)系，線代貫穿的主線就是求方程組的解，只要將方程組的解的概念和一般方法理解透徹，再回過頭看前面的內(nèi)容就非常簡單。同時從考試內(nèi)容來看，考的內(nèi)容基本類似，可以說是最死的部分，這幾年出的考試題實際上就是以前考題的翻版，仔細研究一下以前考題對大家是最有好處的。
 

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